Cours d’analyse 1 Licence 1er semestre

Table des mati`eres 1 Les nombres r ́eels et complexes 5 1.1 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Nombres r ́eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Densit ́e des rationnels et irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Logique et langage des ensembles 15 2.1 Propositions et op ́erateurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Techniques de d ́emonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.1 R ́ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.2 Contrapos ́ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.3 D ́emonstration par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Langage des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Suites r ́eelles et complexes 21 3.1 Limite d’une suite r ́eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Propri ́et ́es de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 Comparaison de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.5 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4 Fonctions d’une variable r ́eelle 39 4.1 Limite et continuit ́e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2 Propri ́et ́es de la limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.3 Propri ́et ́es des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.4 Fonctions d ́erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.5 Propri ́et ́es des fonctions d ́erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.6 Application aux suites r ́eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5 D ́eveloppements limit ́es 55 5.1 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.3 Calcul de d ́eveloppements limit ́es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6 Fonctions classiques 63 6.1 Fonctions bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.2 Logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.3 D ́eveloppements limit ́es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.4 Fonctions trigonom ́etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 7 Corrig ́e des exercices 69

Cours d’analyse 1 Licence 1er semestre

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